Question

【题目】如图所示，已知四棱锥 中，

.

（1）证明：顶点在底面的射影为边的中点；

（2）点在上，且，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

(1)取的中点为，连接，由题意可证得平面则，由勾股定理可得，据此有底面，即顶点在底面的射影为边的中点.

(2)由题意结合(1)的结论求得三棱锥的高，且底面积，则三棱锥的体积.

试题解析：

（1）取的中点为，连接，

则，因为，

所以四边形是正方形， ，

因为为中点，所以，

由，所以平面平面，

所以，因为，所以 ，

则在中， ，

所以，

在中， ，

所以，即，又

所以底面，即顶点在底面的射影为边的中点.

（2）由题设与（1）可得 ，

因为，所以，解得，所以，

又，设三棱锥的高为，则，又，

所以三棱锥的体积.