Question

F₁、F₂分别为双曲线

x2

4

-

y2

5

=1的左、右焦点，直线l过F₁与双曲线的左支交于A、B两点，△ABF₂面积的最小值为

15

．

Answer 1

分析：确定双曲线的焦点坐标，设出AB的方程代入双曲线方程，利用韦达定理表示出△ABF₂面积，再利用导数知识，即可求得△ABF₂面积的最小值

解答：解：由题意F₁（-3，0），F₂（3，0）
设AB的方程为x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
AB的方程代入双曲线方程，整理可得（5m²-4）y²-30my+25=0
∴y₁+y₂=

30m

5m2-4

，y₁y₂=

25

5m2-4

∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

20 m2+1

|5m2-4|

∵直线l过F₁与双曲线的左支交于A、B两点，∴y₁y₂＜0，∴5m²-4＜0
∴|y₁-y₂|=

20 m2+1

-5m2+4

∴△ABF₂面积为

1

2

×|F₁F₂|×|y₁-y₂|=

60 m2+1

-5m2+4

令

m2+1

=t，则m2=t2-1(

3 5

5

＞t≥1)，∴

60 m2+1

-5m2+4

=

60t

-5t2+9

=

60

-5t+ 9 t

令y=-5t+

9

t

，则y′=-5-

9

t2

＜0，∴y=-5t+

9

t

在[1，

3 5

5

）上单调递减，∴0＜y≤4
∴

60

-5t+ 9 t

≥15，即△ABF₂面积的最小值为15
故答案为：15．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，正确运用韦达定理，进而表示三角形的面积是关键．