Question

△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，-2）和C（0，2），顶点A满足sinB+sinC=

3

2

sinA．
（1）求顶点A的轨迹方程；
（2）若点P（x，y）在（1）轨迹上，求μ=2x-y的最值．

Answer 1

分析：（1）顶点A满足sinB+sinC=

3

2

sinA，由正弦定理可得A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，其中长短轴长a=3，半焦距为c=2
，从而可求顶点A的轨迹方程；
（2）当直线μ=2x-y平移到l₁与椭圆相切时，取最小，当直线μ=2x-y平移到l₂与椭圆相切时，取最大．

解答：解：（1）由正弦定理知2R|AC|+2R|AB|=

3

2

|BC|•2R
∴|AC|+|AB|=

3

2

|BC|=6＞|BC|=4
∴A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，其中长短轴长a=3，半焦距为c=2
∴A的轨迹方程为

y2

9

+

x2

5

=1(x≠0)…（6分）
（2）如图，当直线μ=2x-y平移到l₁与椭圆相切时，取最小，当直线μ=2x-y平移到l₂与椭圆相切时，取最大，

由 y2 9 + x2 5 =1 μ=2x-y ，消去y 得29x2-20μx+5μ2-45=0 则△=400μ2-4×29×(5μ2-45)≥0 ∴μ2≤29 ∴- 29 ≤μ≤ 29

当x=0时，y=±3，此时μ=±3不为最值
∴μmax=

29

，μmin=-

29

点评：本题考查椭圆定义的应用及待定系数法求椭圆的方程，（2）问巧妙地将问题等价转化，简化了解题．