题目内容
已知向量
=（sinA，sinB），
=（cosB，cosA），
•
=-sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（1）求角C的大小；
（2）若三边a，c，b成等差数列，且
•
=18，求c边的长．
| m |
| n |
| m |
| n |
（1）求角C的大小；
（2）若三边a，c，b成等差数列，且
| CA |
| BC |
分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到其数量积为sin（A+B），又根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，得到结果为sinC，而已知数量积为-sin2C，两者相等，并利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinC不为0，两边同时除以sinC，求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由三角形的三边a，c及b成等差数列，利用等差数列的性质得到2c=a+b，再利用平面向量的数量积运算法则及诱导公式化简
•
=18，将cosC的值代入求出ab的值，接着利用余弦定理得到c2=a2+b2-2abcosC，根据完全平方公式变形后，将cosC，a+b，及ab代入得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
（2）由三角形的三边a，c及b成等差数列，利用等差数列的性质得到2c=a+b，再利用平面向量的数量积运算法则及诱导公式化简
| CA |
| BC |
解答：解：（1）∵
=（sinA，sinB），
=（cosB，cosA），
∴
•
=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
又A+B+C=π，即A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC，
∴
•
=sinC，又
•
=-sin2C，
∴-sin2C=sinC，即-2sinCcosC=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosC=-
，又C为三角形的内角，
∴C=
；
（2）∵a，c，b成等差数列，
∴2c=a+b，
又
•
=abcos（π-C）=-abcosC=18，且cosC=-
，
∴ab=36，
∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-ab=（2c）2-36，
整理得：3c2=36，即c2=12，
则c=2
．
| m |
| n |
∴
| m |
| n |
又A+B+C=π，即A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC，
∴
| m |
| n |
| m |
| n |
∴-sin2C=sinC，即-2sinCcosC=sinC，
∵sinC≠0，
∴cosC=-
| 1 |
| 2 |
∴C=
| 2π |
| 3 |
（2）∵a，c，b成等差数列，
∴2c=a+b，
又
| CA |
| BC |
| 1 |
| 2 |
∴ab=36，
∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-ab=（2c）2-36，
整理得：3c2=36，即c2=12，
则c=2
| 3 |
点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，等差数列的性质，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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