题目内容

已知平面向量 $数学公式$ =（1，x）， $数学公式$ =（2x+3，-x）（x∈R）．
（1）若 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ，求x的值；　（2）若 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，求| $数学公式$ - $数学公式$ |．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（1，x）•（2x+3，-x）=2x+3-x²=0
整理得：x²-2x-3=0
解得：x=-1，或x=3
（2）∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$
∴1×（-x）-x（2x+3）=0
即x（2x+4）=0
解得x=-2，或x=0
当x=-2时， $\text{[math]}$ =（1，-2）， $\text{[math]}$ =（-1，2）
$\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（2，-4）
∴| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=2 $\text{[math]}$
当x=0时， $\text{[math]}$ =（1，0）， $\text{[math]}$ =（3，0）
$\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（-2，0）
∴| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |=2
故| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |的值为2 $\text{[math]}$ 或2．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，我们易构造一个关于x的方程，解方程即可求出满足条件的x的值．
（2）若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，构造一个关于x的方程，解方程求出x的值后，分类讨论后，即可得到| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |．
点评：本题考查的知识是数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，平行向量与共线向量，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．