题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），证明直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，证明：λ+μ为定值．

解：（1）由已知得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）依题意可设A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），且有 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
将 $\text{[math]}$ 代入即得 $\text{[math]}$
所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线 $\text{[math]}$ 上．
（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1），
设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），则M、N两点坐标满足方程组 $\text{[math]}$
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以 $\text{[math]}$ ，① $\text{[math]}$ ，②
因为 $\text{[math]}$ ，所以（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]，
即 $\text{[math]}$ ，所以x₃=λ（1-x₃），
又l与x轴不垂直，所以x₃≠1，
所以 $\text{[math]}$ ，同理 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
将①②代入上式可得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据椭圆 $\text{[math]}$ 上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，建立方程，结合b²=a²-c²，即可求得椭圆方程；
（2）设出A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），利用A在椭圆上有 $\text{[math]}$ ，求出CA，DB的方程，相乘，即可得到结论；
（3）设直线l的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理及 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求出λ，μ的值，即可得出结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查方程与曲线的关系，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组，利用韦达定理是关键．