Question

已知函数f（x）=x²-6x+4lnx．
（1）给出两类直线：6x+y+m=0与3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断这两类直线中是否存在y=f（x）的切线．若存在，求出相应的m或n的值；若不存在，说明理由．
（2）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x₀，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．试问y=f（x）是否存在“类对称点”．若存在，请求出“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义即可判断出曲线的切线的斜率的取值范围，进而即可得出答案；
（2）利用“类对称点”的定义及导数即可得出答案．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-6x+4lnx，∴x＞0，f′(x)=2x+

4

x

-6，
∵f′(x)≥2

2x× 4 x

-6=4

2

-6＞-6，故不存在6x+y+m=0这类直线的切线；
由2x+

4

x

-6=3，解得x=

1

2

，4．
当x=

1

2

时，f(

1

2

)=-

11

4

-4ln2，把点(

1

2

，-

11

4

-4ln2)代入方程3x-y+n=0，解得n=-

17

4

-4ln2；
当x=4时，f（4）=-8+4ln4，把点（4，-8+4ln4）代入方程3x-y+n=0，解得n=4ln4-20．
（2）设点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），则g（x）-(

x

2 0

-6x0+4lnx0)=(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)，
∴g（x）=(

x

2 0

-6x0+4lnx0)+(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)，
令φ（x）=f（x）-g（x）=x²-6x+4lnx-(

x

2 0

-6x0+4lnx0)-(2x0+

4

x0

-6)(x-x0)，
则φ（x₀）=0．
φ^′（x）=2x+

4

x

-6-(2x0+

4

x0

-6)=

2

x0

(x-x0)(x0-

2

x

)，
当x0＜

2

时，φ（x）在(x0，

2

x0

)上φ^′（x）＜0，∴φ（x）在此区间上单调递减，
∴x∈(x0，

2

x0

)时，φ（x）＜φ（x₀）=0．
从而x∈(x0，

2

x0

)时，

φ(x)

x-x0

＜0．
当x0＞

2

时，φ（x）在(

2

x0

，x0)上φ^′（x）＜0，∴φ（x）在此区间上单调递减，
∴x∈(

2

x0

，x0)时，φ（x）＞φ（x₀）=0．
从而x∈(

2

x0

，x0)时，

φ(x)

x-x0

＜0．
∴在(0，

2

)∪(

2

，+∞)不存在“类对称点”．
当x0=

2

时，
φ ′(x)=

2

x

(x-

2

)2，∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，故

φ(x)

x-x0

＞0．
因此x=

2

是一个“类对称点”的横坐标．

点评：正确理解导数的几何意义、“类对称点”的意义及熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．