Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，直线与椭圆C相交于A、B两点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求的取值范围；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：1）根据离心率为 ，可得 ，根据椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可求b的值，从而可得椭圆的方程；

（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可确定 的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）由题意知，∴，即

又，∴ 故椭圆的方程为     4分

（Ⅱ）解：由得：           6分

设A(x₁，y₁)，B (x₂，y₂)，则      8分

∴   10分

∵∴，   ∴

∴的取值范围是．                    13分

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．