题目内容

已知椭圆C1：
x2
9
+
y2
b12
=1(b1＞0)与双曲线C2：x2-
y2
b22
=1（b2＞0）的焦点相同，离心率之和为
8
3
．
（1）求b1、b2的值；
（2）设C1与C2在第一象限的交点为P，求点P到椭圆左焦点的距离．
分析：（1）利用双曲线与椭圆的焦点相同，离心率之和为
8
3
，建立方程，即可求b1、b2的值；
（2）利用椭圆、双曲线的定义，两式相加，即可求点P到椭圆左焦点的距离．
解答：解：（1）∵双曲线与椭圆的焦点相同，
∴c1=c2，
∵离心率之和为
8
3
，∴
c1
3
+c2=
8
3
，…（4分）
∴c1=c2=2，
∴b1=
9-4
=
5
，b2=
4-1
=
3
．     …（8分）
（2）椭圆与双曲线有相同的焦点，设左、右焦点分别为F1，F2，
则由椭圆的定义知PF1+PF2=6（1）…（10分）
由双曲线的定义知PF1-PF2=2（2）…（12分）
由（1）+（2）得PF1=4
点P到椭圆左焦点的距离为4．                …（15分）
点评：本题考查椭圆、双曲线的定义，考查椭圆、双曲线的几何性质，正确运用椭圆、双曲线的定义是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C1：y2=4x的焦点与椭圆C2：
x2
9
+
y2
b
=1的右焦点F2重合，F1是椭圆的左焦点．
（1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），点C在抛物线y2=4x上运动，求△ABC重心G的轨迹方程；
（2）若P是抛物线C1与椭圆C2的一个公共点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求cosα•cosβ的值及△PF1F2的面积．
已知椭圆C与椭圆C1：
x2
9
+
y2
5
=1有相同的焦点，且椭圆过点(2
3
，
3
)，右焦点为F，
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=
1
2
x与椭圆C交于M、N两点，求△FMN的面积．
（2008•杨浦区二模）（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C1的方程为
x2
9
-
y2
4
=1，伸缩比λ=2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；
（2）射线l的方程y=
2
2
x(x≥0)，如果椭圆C1：
x2
16
+
y2
4
=1经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且|AB|=
2
，求椭圆C2的方程；
（3）对抛物线C1：y2=2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2=2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2=2p3x，如此进行下去，对抛物线Cn：y2=2pnx作变换（x，y）→（λnx，λny），得抛物线Cn+1：y2=2pn+1x，…．若p1=1 ， λn=(
1
2
)n，求数列{pn}的通项公式pn．
（2008•杨浦区二模）（文）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．
（1）已知曲线C1的方程为
x2
9
-
y2
4
=1，伸缩比λ=2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；

（2）已知抛物线C1：y2=2x，经过伸缩变换后得抛物线C2：y2=32x，求伸缩比λ．
（3）射线l的方程y=
2
2
x(x≥0)，如果椭圆C1：
x2
16
+
y2
4
=1经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且|AB|=
2
，求椭圆C2的方程．

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