Question

2．已知△ABC中，cos（$\frac{3π}{2}$-A）+cos（π+A）=-$\frac{1}{5}$
（1）判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
（2）求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知条件，通过诱导公式化简求出A的大小，然后判断三角形的形状．
（2）A是钝角，求出sinA-cosA=$\frac{7}{5}$，从而可求sinA，cosA，tanA可求．

解答 解：（1）△ABC中，cos（$\frac{3π}{2}$-A）+cos（π+A）=-$\frac{1}{5}$，
可得-sinA-cosA=-$\frac{1}{5}$．
即：sinA+cosA=$\frac{1}{5}$．
当A∈（0，$\frac{π}{2}$]时，sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]．
所以A∈（$\frac{π}{2}，π$）．
三角形是钝角三角形．
（2）A是三角形的内角，sinA+cosA=$\frac{1}{5}$，①
∴（sinA+cosA）²=$\frac{1}{25}$，即1+2sinAcosA=$\frac{1}{25}$，
∵A为钝角；
∴sinA＞0，cosA＜0；
∴（sinA-cosA）²=1-2sinA•cosA=$\frac{49}{25}$，
∴sinA-cosA=$\frac{7}{5}$，②
由①②解得sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=-$\frac{3}{5}$；
∴tanA=-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查同角三角函数间的基本关系，关键在于判断A为钝角，着重考查解方程的能力，属于中档题．