Question

已知数列{}成等比数列，且＞0．
（1）若a₂﹣a₁=8，a₃=m．
①当m=48时，求数列{}的通项公式；
②若数列 {}是唯一的，求m的值；
（2）若a_2k+a_2k﹣1+…+a_k+1﹣（a_k+a_k﹣1+…+a₁）=8，k∈N*，求a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值．

Answer 1

解：（1）设等比数列{}的公比为q，由题意可得q＞0．
①当m=48时，由a₂﹣a₁=8，a₃=48 可得 ，
解得 ，或 ．
数列{}的通项公式为 =8（2﹣），或
  =8（2+） ．
②若数列 {}是唯一的，则有唯一的正数解，
即方程8q²﹣mq+m=0 有唯一的正数解，
由△=m²﹣32m=0 可得m=32，此时，q=2，=2n+2．
（2）若a_2k+a_2k﹣1+…+a_k+1﹣（a_k+a_k﹣1+…+a₁）=8，k∈N*，
则有 q^k（a_k+a_k﹣1+…+a₁）﹣（a_k+a_k﹣1+…+a₁）=8，q＞1，
即 （q^k﹣1）（a_k+a_k﹣1+…+a₁）=8，
即 a₁（q^k﹣1）（ q^k﹣1+q^k﹣2+q^k﹣3+…q+1）=8．
∴a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k =a₁q^2k（ q^k﹣1+q^k﹣2+q^k﹣3+…q+1）=a₁q^2k
===8[（q^k﹣1）+2+]≥8（2+2）=32，
当且仅当 q^k﹣1= 时，等号成立，
故a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k的最小值为 32．