Question

【题目】设直线l的方程是x+my+2 =0，圆O的方程是x2+y2=r2（r＞0）．
（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；
（2）r=5时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围；
（3）当r=1时，设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，直线PM交直线l′：x=3于点P′，直线QM交直线l′于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线l过定点（﹣2 ，0），当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点等价于点（﹣2 ，0）在圆O内或在圆O上，

所以12+0≤r2，解得r≥2 ．

所以r的取值范围是[2 ，+∞）

（2）解：设坐标为（﹣2 ，0）的点为点A，则|OA|=2 ．

则当直线l与OA垂直时，由垂径定理得直线l被圆O截得的弦长为l=2 =2 ；

当直线过圆心时，弦长最大，即x轴被圆O截得的弦长为2r=10；

所以直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[2 ，10]

（3）证明：对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．

又直线l方程为x=3，设M（s，t），

则直线PM方程为y= （x+1）．

令x=3，得P'（3， ），

同理可得：Q'（3， ）．

所以圆C的圆心C的坐标为（3， ），半径长为| |，

又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为（3， ），半径长| |．

所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣ ）2=（ ）2，

又s2+t2=1，

故圆C的方程为（x﹣3）2+y2﹣ ﹣8=0，

令y=0，则（x﹣3）2=8，

所以圆C经过定点，y=0，则x=3±2 ，

所以圆C经过定点且定点坐标为（3±2 ，0）

【解析】（1）只需直线所过的定点在圆内，即可使得m取一切值时，直线与圆都有公共点；（2）显然定点与圆心的连线垂直于直线时，弦长最短，直线过圆心时，弦长为直径最大．（3）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．