Question

在三棱锥S－ABC中，∠ASB＝∠BSC＝60°，∠ASC＝90°，且SA＝SB＝SC，求证：平面ASC⊥平面ABC．

Answer 1

答案：
解析：

证明：取AC的中点O，连SO、BO，由已知，得ΔSAB、ΔSBC都是正三角形．∴BC＝AB＝a，SA＝SC＝a，又SO⊥AC，BO⊥AC，∴∠SOB就是二面角S－AC－B的平面角．又∵SA＝AB＝a，SC＝BC＝a，AC＝AC，∴ΔACS≌ΔACB． 　　∴SO＝BO＝a．在ΔSOB中，∵SB＝a，∴∠SOB＝90°． 　　即平面SAC⊥平面ABC． 　　另证：过S作SO⊥平面ABC，垂足是O．∵SA＝SB＝SC，∴S在平面内的射影是ΔABC的外心，同前面的证明，可知ΔABC是直角三角形，∴O在斜边AC上．又∵平面SAC经过SO，∴平面SAC⊥平面ABC 　　说明：证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线．