题目内容
如图所示，正在亚丁湾执行护航任务的某导弹护卫舰，突然收到一艘商船的求救信号，紧急前往相关海域．到达相关海域O处后发现，在南偏西20°、5海里外的洋面M处有一条海盗船，它正以每小时20海里的速度向南偏东40°的方向逃窜．某导弹护卫舰当即施放载有突击队员的快艇进行拦截，快艇以每小时30海里的速度向南偏东θ°的方向全速追击．请问：快艇能否追上海盗船？如果能追上，请求出sin（θ°+20°）的值；如果未能追上，请说明理由．（假设海面上风平浪静、海盗船逃窜的航向不变、快艇运转正常无故障等）
分析：先假设经过t小时在N处追上海盗船，在△OMN中由余弦定理可得t的关系式，解得t＞0，进而推断快艇能追上海盗船，再利用正弦定理求得sin（θ°+40°）的值．
解答：解：假设经过t小时在N处追上海盗船．
在△OMN中，|OM|=5，|MN|=20t，|ON|=30t，∠OMN=120°．
由余弦定理有900t2=400t2+25-2×5×20tcos120°=400t2+25+100t，
化简得20t2-4t-1=0，解之得t=
＞0，∴快艇能追上海盗船．
由正弦定理有
=
，
∴sin（θ°+20°）=
×
=
．
在△OMN中，|OM|=5，|MN|=20t，|ON|=30t，∠OMN=120°．
由余弦定理有900t2=400t2+25-2×5×20tcos120°=400t2+25+100t，
化简得20t2-4t-1=0，解之得t=
1+
| ||
| 10 |
由正弦定理有
| |MN| |
| sin(θ°+20°) |
| |ON| |
| sin120° |
∴sin（θ°+20°）=
| 20t |
| 30t |
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理在实际中的应用．属基础题．
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