Question

某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得-1分，一名观众随意连线，将他的得分记作ξ．
（Ⅰ）求该观众得分ξ为正数的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）ξ的可能取值为-4，0，4，12．P（ξ=12）=

1

A 4 4

=

1

24

，P（ξ=4）=

C 2 4

A 4 4

=

1

4

．由此能求出该同学得分正数的概率．
（2）P（ξ=0）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

，P（ξ=-4）=

3×3

A 4 4

=

9

24

．由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望Eξ．

解答：解：（1）ξ的可能取值为-4，0，4，12．
P（ξ=12）=

1

A 4 4

=

1

24

，P（ξ=4）=

C 2 4

A 4 4

=

1

4

．
该同学得分正数的概率为P（ξ=12）+P（ξ=4）=

1

24

+

1

4

=

7

24

．
（2）P（ξ=0）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

，P（ξ=-4）=

3×3

A 4 4

=

9

24

．
∴ξ的分布列为：

ξ	-4	0	4	12
P	9 24	1 3	1 4	1 24

∴ξ的数学期望Eξ=-4×

9

24

+0×

1

3

+4×

1

4

+12×

1

24

=3．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和方差，解题时要认真审题，注意概率知识和排列组合知识的灵活运用，是中档题．