Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有 成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）;（2）；（3）.

试题分析：(1)因为为奇函数，所以利用,求出的值；(2) 在（1）的条件下，证明的单调性，在恒成立，即,根据单调性，可以求出其最大值；(3)若函数在上是以3为上界的有界函数，则,将函数代入，反解,,利用函数的单调性求出他们的最大，和最小值，就是的范围.
试题解析：解：（1）因为函数为奇函数，
所以，即，
即，得，而当时不合题意，故．      4分
（2）由（1）得：，
下面证明函数在区间上单调递增，
证明略．                                         6分
所以函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上的值域为，
所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为．  8分
（3）由题意知，在上恒成立．
，．
在上恒成立．
                     10分
设，，，由得,
设，，
,
所以在上递减，在上递增，                   12分
在上的最大值为，在上的最小值为 ．
所以实数的取值范围为．                                    14分