Question

（14分）已知函数f(x)=在定义域内为奇函数，

且f(1)=2,f()=;

（1）确定函数的解析式;

（2）用定义证明f(x)在[1，+∞）上是增函数；

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（3）解不等式f(t²+1)+f(-3+3t-2t²)<0.

Answer 1

解：（1）∵函数f(x)=在定义域内为奇函数∴b=0,f(1)=2,f()=

代入解方程组的a=1,c=1∴f(x)=x+-----------4分

(2)设x₁,x₂是区间（1，+∞）内的任意两个实数，且x₁<x₂,

 ⊿x=x₂-x₁>0

⊿y=f(x₂)-f(x₁)=x₂-x₁+=x₂-x₁+=(x₂-x₁)

 ∵⊿x=x₂-x₁>0∵x₁,x₂是区间（1，+∞）内∴>0

∴⊿y>0∴f(x)在[1，+∞）上是增函数----------9分

(3) 由f(t²+1)+f(3+3t-2t²)<0.得f(t²+1)<-f(3+3t-2t²)∵f(x)为奇函数∴得f(t²+1)<f(3-3t+2t²)

又t²+1≥1,2t²-3t+3>1,f(x)在[1，+∞）上是增函数

∴1≤t²+1<3-3t+2t²得{t|t>2或t<1}---14分