Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

3

，当n≥2时，其前n项和S_n满足an=

2 S 2 n

2Sn-1

，
（1）求S_n的表达式及

lim

n→∞

an

S 2 n

的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

1

(2n+1)3

-

1

(2n-1)3

，求证：当n∈N且n≥2时，a_n＜b_n．

Answer 1

分析：（1）：利用a_n和S_n的关系，代入变形可得．然后再用极限法则求解．
（2）：由（1）并利用a_n和S_n的关系，可解．
（3）：法1：构造函数利用函数单调性证明．
        法2：利用差比法证明．
         法3：构造函数利用函数最值证明．

解答：解：（1）an=Sn-Sn-1=

2 S 2 n

2Sn-1

⇒Sn-1-Sn=2SnSn-1⇒

1

Sn

-

1

Sn-1

=2(n≥2)
所以{

1

Sn

}是等差数列．则Sn=

1

2n+1

．

lim

n→∞

an

S 2 n

=

lim

n→∞

2

2Sn-1

=

2

2 lim n→∞ Sn-1

=-2．
（2）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2n+1

-

1

2n-1

=

-2

4n2-1

，综上，an=

1 3 (n=1) 2 1-4n2 (n≥2)

．
（3）令a=

1

2n-1

，b=

1

2n+1

，当n≥2时，有0＜b＜a≤

1

3

（1）
法1：等价于求证

1

2n-1

-

1

(2n-1)3

＞

1

2n+1

-

1

(2n+1)3

．
当n≥2时，0＜

1

2n-1

≤

1

3

，令f(x)=x2-x3，0＜x≤

1

3

，f′(x)=2x-3x2=2x(1-

3

2

x)≥2x(1-

3

2

×

1

3

)=2x(1-

3

2

)＞0，则f（x）在(0，

1

3

]递增．
又0＜

1

2n+1

＜

1

2n-1

≤

1

3

，所以g(

1

3 2n+1

)＜g(

1

3 2n-1

)，即a_n＜b_n．
法（2）an-bn=

1

2n+1

-

1

2n-1

-(

1

(2n+1)3

-

1

(2n-1)3

)=b2-a2-(b3-a3)=（a-b）（a²+b²+ab-a-b）（2）=(a-b)[(a2+

ab

2

-a)+(b2+

ab

2

-b)]=(a-b)[a(a+

b

2

-1)+b(b+

a

2

-1)]（3）
因b+

a

2

-1＜a+

b

2

-1＜

3a

2

-1＜

3

2 3

-1=

3

2

-1＜0
所以a(a+

b

2

-1)+b(b+

a

2

-1)＜0
由（1）（3）（4）知a_n＜b_n．
法3：令g（b）=a²+b²+ab-a-b，则g′(b)=2b+a-1=0⇒b=

1-a

2

所以g（b）≤max{g（0），g（a）}=max{a²-a，3a²-2a}
因0＜a≤

1

3

，则a²-a=a（a-1）＜03a2-2a=3a(a-

2

3

)≤3a(

1 3

-

4 9

)＜0
所以g（b）=a²+b²+ab-a-b＜0（5）由（1）（2）（5）知a_n＜b_n

点评：本题（1）：考查数列极限的综合知识，其中注意a_n和S_n的关系．（2）考查数列通项求法．（3）考查数列函数等知识的综合应用．