Question

（14分）已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，数列对任意正整数n，均有： 

成立，又。

（Ⅰ）求数列的通项公式及前n项和；

（Ⅱ）在数列中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，……，第项，……，组成一个新数列，求数列的前n项和；

（Ⅲ）当时，比较与的大小。

Answer 1

解析：（I）设公比为 ……………………2分 

代入

得

即

∵，∴，∴

∴是等差数列   ……………………4分 

=2   ∴   …………6分 

（Ⅱ）

   ……………………8分 

（3）

时，时，

猜测时，   ……………………10分 

用数学归纳法证明如下

（1）时，（已证）

（2）假设时不等式成立，即 ……………………12分 

时，

又

∴

即时，不等式成立。

由（1）（2）知，当时， ……………14分