Question

（2013•东莞二模）已知函数f(x)=2

3

sinxcosx-2cos2x+1．
（1）求函数f（x）的对称轴方程及单调递增区间；
（2）在△ABC中，若f(

A

2

)=2，b=1，c=2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数倍角公式和两角和的正弦公式可得f(x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，由对称轴方程满足2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z即可解出；再利用正弦函数的单调性即可得出单调区间．
（2）利用三角函数的单调性和余弦定理即可得出．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
对称轴方程满足2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z
即x=

1

2

kπ+

π

3

，k∈Z，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得，kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
故f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）f(

A

2

)=2，则2sin(A-

π

6

)=2⇒sin(A-

π

6

)=1，
∴A-

π

6

=

π

2

+2kπ，A=

2π

3

+2kπ，k∈Z．
又0＜A＜π，∴A=

2π

3

，
∴a²=b²+c²-2bccosA=7，∴a=

7

．

点评：熟练掌握三角函数倍角公式、两角和的正弦公式、对称轴方程、三角函数的单调性和余弦定理是解题的关键．