Question

（2012•房山区一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，记a_n与a_n+1的等差中项为k_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=2kn•an，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设集合A={x|x=kn，n∈N*}，B={x|x=2an，n∈N*}，等差数列{c_n}的任意一项c_n∈A∩B，其中c₁是A∩B中的最小数，且110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（I）根据点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，可得Sn=n2+2n(n∈N*)，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（II）先确定数列的通项，再利用错位相减法求数列的和；
（III）先确定A∩B=B，再确定{c_n}是公差为4的倍数的等差数列，利用110＜c₁₀＜115，可得c₁₀=114，由此可得{c_n}的通项公式．

解答：解：（I）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，∴Sn=n2+2n(n∈N*)，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．…（2分）
当n=1时，a₁=S₁=3满足上式，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．…（3分）
（II）∵k_n为a_n与a_n+1的等差中项
∴kn=

an+an+1

2

=

2n+1+2(n+1)+1

2

=2n+2…（4分）
∴bn=2knan=4•(2n+1)•4n．
∴Tn=4×3×41+4×5×42+4×7×43+…+4×(2n+1)×4n①
由①×4，得4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4×(2n+1)×4n+1②
①-②得：-3Tn=4[3×4+2×(42+43+…+4n)-(2n+1)×4n+1]=4[3×4+2×

42(1-4n-1)

1-4

-(2n+1)×4n+1]
∴Tn=

6n+1

9

•4n+2-

16

9

…（8分）
（III）∵A={x|x=kn，n∈N*}，B={x|x=2an，n∈N*}
∴A∩B=B
∵c_n∈A∩B，c₁是A∩B中的最小数，∴c₁=6．
∵{c_n}是公差为4的倍数的等差数列，∴c10=4m+6(m∈N*)．…（10分）
又∵110＜c₁₀＜115，∴

110＜4m+6＜115 m∈N*

，解得m=27．
所以c₁₀=114，
设等差数列的公差为d，则d=

c10-c1

10-1

=

114-6

9

=12，…（12分）
∴c_n=6+（n+1）×12=12n-6，
∴c_n=12n-6．…（13分）

点评：本题考查数列与函数的关系，考查数列的通项与求和，正确运用求和公式是关键．