题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设 $数学公式$ =λ $数学公式$ ．
（Ⅰ）证明：λ=1-e²；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

解：（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（- $\text{[math]}$ ，0）（0，a）．
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ．这里c= $\text{[math]}$ ．
所以点M的坐标是（-c， $\text{[math]}$ ）．由 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ 得（-c+ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）=λ（ $\text{[math]}$ ，a）．
即 $\text{[math]}$ ．解得λ=1-e²．
（Ⅱ）因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，
要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即 $\text{[math]}$ |PF₁|=c．
设点F₁到l的距离为d，
由 $\text{[math]}$ |PF₁|═d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =c，
得 $\text{[math]}$ =e．
所以e²= $\text{[math]}$ ，于是λ=1-e²= $\text{[math]}$ ．
即当λ= $\text{[math]}$ 时，△PF₁F2为等腰三角形．
分析：（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（- $\text{[math]}$ ，0）（0，a）．由题设知点M的坐标是（-c， $\text{[math]}$ ）．由 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ 得（-c+ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）=λ（ $\text{[math]}$ ，a）．从而解得λ=1-e²．
（Ⅱ）因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有 $\text{[math]}$ |PF₁|=c．由题设知当λ= $\text{[math]}$ 时，△PF₁F2为等腰三角形．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细求解，合理地运用公式．