Question

已知函数f（x）=x²-ax+3在（0，1）上为减函数，函数g（x）=x²-alnx在区间（1，2）上为增函数．
（I）求a的值；
（Ⅱ）试判断方程f（x）=2g（x）+m（m＞-1）在（0，+∞）上解的个数，并说明理由．

Answer 1

（I）∵函数f（x）=x²-ax+3在（0，1）上为减函数，
依题意f'（x）≤0在x∈（0，1）上恒成立，
得2x≤a在x∈（0，1）上恒成立，
∴a≥2…（2分）
又∵g′(x)=2x-

a

x

，依题意g'（x）≥0在x∈（1，2）上恒成立，
得2x²≥a在x∈（1，2）上恒成立，有a≤2，
∴a=2…（6分）
（Ⅱ）令

h(x)=2g(x)+m-f(x)=x2+2x-4lnx+(m-3)，则

h′(x)=2x+2- 4 x = 2(x+2)(x-1) x

当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，1）上为减函数；
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上为增函数．
∴h_min（x）=h（1）=m
∴h（x）≥h（1）=m，即2g（x）+m-f（x）≥m…（8分）
①当m＞0时，

2g(x)+m-f(x)≥m＞0即2g(x)+m＞f(x)，

∴f(x)=2g(x)+m在(0，+∞)上无解…(9分)

②当m=0时，2g（x）≥f（x），当且仅当x=1时，2g（x）=f（x），
∴f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上仅有一个解x=1；…（11分）
③当-1＜m＜0时，

∵h( 1 e )= 1 e2 + 2 e +4+(m-3)= 1 e2 + 2 e +1+m＞0 h(1)=m＜0 h(e)=e2+2e-4+(m-3)=e2+2e+(m-7)＞e2+2e-8＞0

∴h（x）在(

1

e

，1)和（1，e）内各有一个零点，即f（x）=2g（x）+m在（0，+∞）上有二个解．…（14分）