Question

在等腰梯形PDCB（图1）中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=，DA⊥PB，垂足为A，将△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P-ABCD（图2）．在图2中完成下面问题：
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）点M在棱PB上，平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体（如图2），当这两个几何体的体积之比V_PM-ACDV_M-ABC=5：4时，求的值；
（3）在（2）的条件下，证明：PD‖平面AMC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由图1中DA⊥PB，可得折叠后DA⊥AB，DA⊥PA，进而DC⊥PA，DC⊥DA，由线面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PCD；
（2）设MN=h，则可得V_M-ABC=，V_P-ABCD=，则V_PM-ABCD=V_P-ABCD-V_M-ABC=-，结合V_PM-ABCD：V_M-ABC=5：4，可求出h值，进而得到的值；
（3）在梯形ABCD中，连接AC、BD交于点O，连接OM．易知△AOB∽△DOC，所以在平面PBD中，有PD∥MO，进而由线面平行的判定定理得到答案．
解答：证明：（1）因为在图a的等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，
所以在四棱锥P-ABCD中，DA⊥AB，DA⊥PA．…（1分）
又PA⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥PA，DC⊥DA，…（2分）
而DA?平面PAD，PA?平面PAD，PA∩DA=A，
所以DC⊥平面PAD．…（3分）
因为DC?平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PCD．…（4分）
解：（2）因为DA⊥PA，且PA⊥AB
所以PA⊥平面ABCD，
又PA?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABC．
如图，过M作MN⊥AB，垂足为N，
则MN⊥平面ABCD．…（5分）
在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，
PB=3DC=3，PD=，DA⊥PB，
所以PA=1，AB=2，AD==1．…（6分）
设MN=h，则V_M-ABC=S_△ABC•h=．…（7分）
V_P-ABCD=S_梯形ABCD•PA=
V_PM-ABCD=V_P-ABCD-V_M-ABC=-．…（8分）
因为V_PM-ABCD：V_M-ABC=5：4，
所以（-）：=5：4，解得h=．…（9分）
在△PAB中，==，所以BM=BP，MP=BP．
所以PM：MB=1：2．…（10分）
（3）在梯形ABCD中，连接AC、BD交于点O，连接OM．
易知△AOB∽△DOC，所以==．…（11分）
又PM：MB=1：2，所以=，…（12分）
所以在平面PBD中，有PD∥MO．…（13分）
又因为PD?平面AMC，MO?平面AMC，
所以PD∥平面AMC．…（14分）
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答本题的关键．