Question

如图，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=6，CD⊥AP于D，现将△PCD沿线段CD折成60°的二面角P-CD-A，设E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

（Ⅰ） 求证：PA∥平面EFG；
（II）若M为线段CD上的动点，问点M在什么位置时，直线MF与平面EFG所成角为60°．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AD中点O，连接GO，OE，利用三角形中位线的性质，可得四边形OGFE为梯形，PA∥OE，利用线面平行的判定，可得PA∥平面EFG；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面EFG的法向量，设点（0≤λ≤3），于是，利用直线MF与平面EFG所成角为60°，建立方程，从而可得结论．
解答：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连接GO，OE，则四边形OGFE为梯形，PA∥OE

∵PA?平面EFG，OE?平面EFG，∴PA∥平面EFG；…（6分）
（Ⅱ）解：分别以OG，OD，OP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则，．
设平面EFG的法向量为，则，∴，
取，得到．
设点（0≤λ≤3），于是，
由题知，
即，解得．
∴点M在CD的中点时，MF与平面EFG所成角为60°．…（14分）
点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查利用空间向量解决线面角问题，正确求平面的法向量是关键，属于中档题．