Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}，若2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，则2a₈+a₇的最小值为

54

．

Answer 1

分析：龟文鸟迹题意知a_n＞0和公比q＞0，由通项公式代入式子：2a₄+a₃-2a₂-a₁=8化简，得到a₁（2q+1）=

8

q2-1

，
同理化简2a₈+a₇，再把上式代入用q来表示且化简，设x=

1

q2

并构造函数y=

1

q4

-

1

q6

=x²-x³，再求导、求临界点和函数单调区间，求出函数的最大值，代入2a₈+a₇的化简后式子求出最小值．

解答：解：由题意知等比数列{a_n}中a_n＞0，则公比q＞0，
∵2a₄+a₃-2a₂-a₁=8，∴2a₁•q³+a₁•q²-2a₁q-a₁=8，
即a₁（2q³+q²-2q-1）=8，则a₁（2q+1）（q²-1）=8，
则a₁（2q+1）=

8

q2-1

，
∴2a₈+a₇=a₁（2q+1）•q⁶=

8

q2-1

×q⁶=

8

1 q4 - 1 q6

，
设x=

1

q2

，则x＞0，设y=

1

q4

-

1

q6

=x²-x³，
则y′=2x-3x²=x（2-3x），令y=0得，x=0或

2

3

，
当0＜x＜

2

3

时，y′＞0；当x＞

2

3

时，y′＜0，
∴函数y=x²-x³在（0，

2

3

）上递增，在（

2

3

，+∞）上递减，
∴当x=

2

3

时，函数y取到最大值是(

2

3

)2-(

2

3

)3=

4

27

，
则

8

1 q4 - 1 q6

取到最小值是8×

27

4

=54，
即2a₈+a₇的最小值为54，
故答案为：54．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，换元法、构造函数法，以及导数与函数单调性、最值的应用，属于数列与函数结合较难的题，考查了学生分析问题和解决问题的能力．