Question

通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律〔f(t)越大，表明学生注意力越集中〕，经过实验分析得知：

f(t)＝

(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当0＜t≤10时， 　　f(t)＝－t2＋24t＋100＝－(t－12)2＋244是增函数，且f(t)max＝f(10)＝240， 　　当20＜t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(20)＝240， 　　所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟． 　　(2)由题意得 　　f(5)＝－52＋24×5＋100＝195， 　　f(25)＝－7×25＋380＝205， 　　所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中． 　　(3)函数f(t)的图像与y＝180交于两点， 　　当0＜t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，得t＝4， 　　当20＜t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180，得t≈28.57， 　　由(1)函数f(t)的单调性，知4＜t＜28.57， 　　则学生注意力在180以上所持续的时间为28.57－4＝24.57＞24． 　　所以经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．

提示：

(1)转化为求函数f(t)的最大值；(2)比较f(5)，f(25)的大小；(3)结合函数f(t)的图像，求当f(t)≥180时，时间t的取值范围．