Question

如图，已知直线l与抛物线相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）．
（1）若动点M满足，求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点B的直线l'（斜率不等于零）与（1）中的轨迹C交于不同
的两点E、F（E在B、F之间），且，试求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知，所以l的斜率为y'_x=2=1，从而得到直线l的方程为y=x-1，点A坐标为A（1，0），由此能求出动点M的轨迹C的方程．
（2）由题意，设l'的方程为y=k（x-2）（k≠0），由，得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0．由△＞0得．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），再结合韦达定理进行求解．
解答：解：（1）∵，∴，
∴l的斜率为y'_x=2=1
∴直线l的方程为y=x-1
∴点A坐标为A（1，0）
设M（x、y），
则
由得
整理得--------（6分）
（2）由题意，设l'的方程为y=k（x-2）（k≠0）
由
得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0由△＞0得
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则①
∵，
∴x₁-2=λ（x₂-2）②
且0＜λ＜1
由①知，③
④
由②③④知：
∴
即
∵，
∴
解得  
又0＜λ＜1
∴--------------（14分）
点评：本题考查动点的轨迹的求解方法和求λ的取值范围．解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用和韦达定理的合理运用．