Question

设S是实数集R的真子集，且满足下列两个条件：
①1不属于S；②若a∈S，则

1

1-a

∈S，
问：（Ⅰ）若2∈S，则S中一定还有哪两个数？
（Ⅱ）集合S中能否只有一个元素？说明理由．

Answer 1

分析：（1）若2∈S，则

1

1-2

∈s即-1∈s；又根据题意又有

1

1-(-1)

∈s．即

1

2

∈s．始终根据定义求解．
（2）若a∈S，则

1

1-a

∈S，集合S中只有一个元素，根据元素互异性要求则必有a=

1

1-a

即a²-a+1=0有解．

解答：解：（Ⅰ）若2∈S，则

1

1-2

∈s即-1∈s；又根据题意又有

1

1-(-1)

∈s．即

1

2

∈s．
∴若2∈S，s中至少还有两个元素-1，

1

2

；
（Ⅱ）若a∈S，则

1

1-a

∈S，根据元素互异性的要求，s中只有一个元素，则应该满足
a=

1

1-a

即a²-a+1=0有解．显然此方程无解．
∴不可能．
答：（1）若2∈S，s中一定还有两个元素-1，

1

2

；
（2）集合S中不可能只有一个元素．

点评：集合中的元素具有互异性．这是往往容易忽视的．