Question

某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%．从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．
（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为a1=

3

10

，经过n年绿化总面积为a_n+1．求证：an+1=

4

25

+

4

5

an．
（2）至少需要多少年（年取整数，lg2=0.3010）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？

Answer 1

分析：（1）根据题意利用今年的绿化面积表示出明年的绿化面积是解决本题的关键，弄清楚今年的绿化面积与明年绿化面积之间的关系，将文字语言表示为数学语言；
（2）根据（1）中得出的两年绿化面积之间的递推关系，通过构造转化为特殊数列进而求出该数列的通项公式是解决本题的关键，利用指数式和对数式之间的关系确定出合题意的年份．

解答：解：（1）证明：由已知可得a_n确定后，a_n+1表示如下：a_n+1=a_n•（1-4%）+（1-a_n）•16%
即a_n+1=80%a_n+16%=

4

5

a_n+

4

25

（2）解：由a_n+1=

4

5

a_n+

4

25

可得：a_n+1-

4

5

=

4

5

（a_n-

4

5

）=（

4

5

）²（a_n-1-

4

5

）=…=(

4

5

)n(a1-

4

5

)
故有a_n+1=-

1

2

(

4

5

)n+

4

5

，若a_n+1≥

3

5

．则有-

1

2

(

4

5

)n+

4

5

≥

3

5

．即

1

2

≥(

4

5

)n-1
两边同时取对数可得-lg2≥（n-1）（2lg2-lg5）=（n-1）（3lg2-1）
故n≥

lg2

1-3lg2

+1＞4，故使得上式成立的最小n∈N^*为5，
答：最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%．

点评：本题考查数列在实际问题中的应用，考查探索数列递推关系的数学模型意识，关键要将题目中的文字语言转化为数学语言，考查学生根据数列的递推关系确定通项公式的方法，考查学生对数的运算、转化与化归思想方法．