Question

已知函数f（x）=sin2x-2sin²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．
（Ⅱ）令f（x）=0可得到2sin xcos x=2sin²x，进而可得到sin x=0或tan x=，即可求出对应的x的取值集合，得到答案．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x+cos2x-1=2sin（2x+）-1
故函数f（x）的最大值等于2-1=1
（Ⅱ）由f（x）=0得2sin xcos x=2sin²x，于是sin x=0，或cos x=sin x即tan x=
由sin x=0可知x=kπ；
由tan x=可知x=kπ+．
故函数f（x）的零点的集合为{x|x=kπ或x=k，k∈Z}
点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的基本性质．三角函数是高考的重点，每年必考，要强化复习．