Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABEAE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD；
（3）求四面体BCDF的体积．

Answer 1

分析：（1）证明AE⊥平面BCE，利用线面垂直的判定定理，只需证明AE⊥BC，BF⊥AE即可；
（2）连接GF，由三角形的中位线可得到GF∥AE，再由线面平行的判定定理得证；
（3）以F顶点，以平面BDC为底，求出F到平面BCD的距离，再用三棱锥的体积公式求解．

解答：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，
∵AE?平面ABE，
∴AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE
∴BF⊥AE，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE
（2）证明：连接 GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE
∵BE=BC，∴F为EC的中点，
∵G是AC的中点，
∴FG∥AE
∵FG?平面BFD，AE?平面BFD
∴AE∥平面BFD；
（3）解：取AB中点O，连接OE．因为AE=EB，所以OE⊥AB．
因为AD⊥面ABE，OE?面ABE，所以OE⊥AD，所以OE⊥面ADC
因为BF⊥面ACE，AE?面ACE，所以BF⊥AE．
因为CB⊥面ABE，AE?面ABE，所以AE⊥BC．
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE，又BE?面BCE，所以AE⊥EB．
∵AE=EB=2，∴AB=2

2

，∴OE=

2

∴F到平面BCD的距离为

2

2

∴四面体BCDF的体积

1

3

×

1

2

×2×2

2

×

2

2

=

2

3

点评：本题主要考查线线，线面关系的转化，考查了线面平行，垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法，属中档题．