Question

设函数f（t）=

1-t 1+t

，且α∈（

3π

4

，π）．
（1）化简g（α）=cosα•f（sinα）+sinα•f（cosα）；
（2）若g（α）=

7

5

，求sin³α+cos³α的值．

Answer 1

分析：（1）按照已知的函数关系式，利用同角三角函数的基本关系式化简g（α）=cosα•f（sinα）+sinα•f（cosα），结合α的范围求出表达式的值；
（2）结合（1）结果，g（α）=

7

5

，求出sinα+cosα的值，化简sin³α+cos³α为求解的表达式，然后求出它的值．

解答：解：（1）由已知得g（α）=cosα•

1-sinα 1+sinα

+sinα•

1-cosα 1+cosα

…（1分）
=cosα•

(1-sinα)2 cos2α

+sinα•

(1-cosα)2 sin2α

…（2分）
=cosα•

1-sinα

|cosα|

+sinα•

1-cosα

|sinα|

 …（3分）
由α为第二象限角，得sinα＞0，cosα＜0．…（4分）
所以g（α）=-（1-sinα）+（1-cosα） …（5分）
=sinα-cosα…（6分）
（2）由已知，得g（α）=sinα-cosα=

7

5

．…（7分）
平方，得sinα•cosα=-

12

25

．①…（8分）
又由α∈（

3π

4

，π），得sinα+cosα＜0．…（9分）
所以sinα+cosα=-

1+2sinαcosα

=-

1

5

．②…（10分）
又sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos³α）
=（sinα+cosα）（1-sinαcosα） …（11分）
结合①②，得sin³α+cos³α=-

37

125

．…（12分）

点评：本题是中档题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简与求值，考查计算能力与转化思想的应用．