Question

【题目】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数，曲线上的点的极坐标分别为．

（1）过O作线段的垂线，垂足为H，求点H的轨迹的直角坐标方程；

（2）求两点间的距离的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先将线的参数方程化为直角坐标方程，的极坐标化为直角坐标，代入曲线方程，化简得，再根据三角形中等面积法，得到，从而得H的轨迹是圆，得到点H的轨迹的直角坐标方程；

（2）表示出两点间的距离，再设，利用关系式，将也用表示出来，则可得，，再构造函数，利用导数研究函数的性质，求出两点间的距离的取值范围.

（1）因为曲线的参数方程为所以曲线的普通方程为．

因为曲线上的点的极坐标分别为，

所以点的直角坐标分别为

，

代入曲线的方程得，

所以，

所以两个式子相加得．

由题意可知，所以，

所以点H的轨迹是圆， 所以点H的轨迹的方程为．

（2）两点间的距离为，设，则，

令函数，

所以，所以在区间上是减函数，

在区间上是增函数． 又，

所以函数的最大值为13，最小值为，

所以两点间的距离的取值范围是．