题目内容
【题目】椭圆
：
的左，右焦应分别是
，
，离心率为
，过且垂直于
轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线
：
与椭圆切于点
，直线
平行于
，与椭圆交于不同的两点
、
，且与直线交于点
.证明：存在常数
，使得
，并求的值；
（3）点
是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接
，
，设
后的角平分线
交的长轴于点
，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）
【解析】
（1）根据题意直接计算得到答案.
（2）设
方程
，联立方程，利用韦达定理得到
，
计算
，代入化简得到答案.
（3）设
其中
，将向量坐标代入并化简得
，计算得到答案.
（1）由
得
所以椭圆
的方程为
（2）
∴
又
∴设方程为
由
设
，则
由
∴
∴
即存在满足条件
（3）由题意可知：
，
设其中，将向量坐标代入并化简得：
，因为，所以
而
，所以
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