题目内容
（2008•静安区一模）（理）设
=(cosα，(λ-1)sinα)，
=(cosβ，sinβ)，(λ＞0，0＜α＜β＜
)是平面上的两个向量，若向量
+
与
-
相互垂直，
（1）求实数λ的值；
（2）若
•
=
，且tanα=
，求α的值（结果用反三角函数值表示）
| a |
| b |
| π |
| 2 |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求实数λ的值；
（2）若
| a |
| b |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
分析：（1）由题意及平面向量的数量积运算法则进行化简，由α的范围，得到sinα不为0，再由λ大于0，根据化简后的关系式即可求出λ的值；
（2）把第一问求出的λ的值代入
的坐标确定出此向量，然后利用平面向量的数量积运算法则化简
•
=
，可得出cos（α-β）的值，由α与β的范围得出α-β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）及tan（α-β）的值，再由α=（α-β）+β，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入求出tanα的值，即可得出α的度数．
（2）把第一问求出的λ的值代入
| a |
| a |
| b |
| 4 |
| 5 |
解答：解：（1）由题设，得(
+
)(
-
)=0，
即|
|2-|
|2=0，
所以，（λ-1）2sin2α-sin2α=0，
即λ（λ-2）sin2α=0
因为0＜α＜
，
∴sin2α≠0，又λ＞0，
所以λ-2=0，即λ=2；
（2）由（1）知，
=(cosα，sinα)，
=(cosβ，sinβ)，
∴
•
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)，
又
•
=
，
∴cos(α-β)=
，
∵0＜α＜β＜
，则-
＜α-β＜0，
∴sin(α-β)=-
，tan(α-β)=-
，
∴tanα=tan[(α-β)+β]=
，
又0＜α＜
，
∴α=arctan
．
| a |
| b |
| a |
| b |
即|
| a |
| b |
所以，（λ-1）2sin2α-sin2α=0，
即λ（λ-2）sin2α=0
因为0＜α＜
| π |
| 2 |
∴sin2α≠0，又λ＞0，
所以λ-2=0，即λ=2；
（2）由（1）知，
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
又
| a |
| b |
| 4 |
| 5 |
∴cos(α-β)=
| 4 |
| 5 |
∵0＜α＜β＜
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴sin(α-β)=-
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
∴tanα=tan[(α-β)+β]=
| 7 |
| 24 |
又0＜α＜
| π |
| 2 |
∴α=arctan
| 7 |
| 24 |
点评：此题考查了平面向量数量积的运算，利用数量积判断两向量的垂直关系，两角和与差的余弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，学生做题时特别注意角度的范围及灵活变换．
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