Question

关于x的方程e^xlnx=1的实根个数是

 

．

Answer 1

分析：已知方程e^xlnx=1，移项构造形函数f（x）=e^xlnx-1，然后对其进行求导，求出其值域即可求解．

解答：解：∵方程e^xlnx=1，
∴令f（x）=e^xlnx-1，
∴f′（x）=e^xlnx+

ex

x

=e^x（lnx+

1

x

），
∴令f′（x）=0，可得e^x（lnx+

1

x

）=

xlnx+1

x

=0，
∴xlnx+1=0，
令g（x）=xlnx+1，
∴g′（x）=lnx+1=0，
解得x=

1

e

，
当x＞

1

e

时 g（x）为增函数，
当x＜

1

e

时，g（x）为减函数，
∴g（x）的极小值也是最小值为g（

1

e

）=-

1

e

+1＞0，
∴f（x）为单调增函数，
f（

1

e

）=e

1

e

×（-1）-1＜0，
∴方程e^xlnx=1的实根个数是1个，
故答案为1．

点评：此题考查方程根的存在性及其性质，解题的关键是利用导数来判断函数的单调性，要学会构造函数的思想，此题是一道好题．