Question

关于x的方程e^xlnx=1的实根个数是    ．

Answer 1

【答案】分析：已知方程e^xlnx=1，移项构造形函数f（x）=e^xlnx-1，然后对其进行求导，求出其值域即可求解．
解答：解：∵方程e^xlnx=1，
∴令f（x）=e^xlnx-1，
∴f′（x）=e^xlnx+=e^x（lnx+），
∴令f′（x）=0，可得e^x（lnx+）==0，
∴xlnx+1=0，
令g（x）=xlnx+1，
∴g′（x）=lnx+1=0，
解得x=，
当x时 g（x）为增函数，
当x＜时，g（x）为减函数，
∴g（x）的极小值也是最小值为g（）=-+1＞0，
∴f（x）为单调增函数，
f（）=×（-1）-1＜0，
∴方程e^xlnx=1的实根个数是1个，
故答案为1．
点评：此题考查方程根的存在性及其性质，解题的关键是利用导数来判断函数的单调性，要学会构造函数的思想，此题是一道好题．