Question

已知数列满足（为常数），成等差数列.

（Ⅰ）求p的值及数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，证明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）,；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用成等差数列.可求p的值，再用累加法求数列的通项公式；（Ⅱ）通过作差判断数列的单调性或利用数学归纳法进行证明.

试题解析：（Ⅰ）由

得

∵成等差数列，

∴

即得               （2分）

依题意知，

当时，

 

相加得

∴

∴                       （4分）

又适合上式，                      （5分）

故                          （6分）

（Ⅱ）证明：∵∴

∵        （8分）

若则

即当时，有                   （10分）

又因为                     （11分）

故                          （12分）

（Ⅱ）法二：要证

只要证                      （7分）

下面用数学归纳法证明：

①当时，左边=12，右边=9，不等式成立；

当时，左边=36，右边=36，不等式成立.          （8分）

②假设当时，成立.        （9分）

则当时，左边=4×3^k+1=3×4×3^k≥3×9k²，

要证3×9k²≥9（k+1）² ，

只要正3k²≥（k+1）² ，

即证2k²-2k-1≥0.                      （10分）

而当k即且时，上述不等式成立.      （11分）

由①②可知，对任意，所证不等式成立.          （12分）

考点：1.等差中项；2.累加法求和；3.数列单调性；4.数学归纳法.