题目内容
【题目】已知函数
，
．
求证：
对
恒成立；
若
，若
，
，求证：
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数
，对函数进行一阶导数和二阶导数的分析，得到在
上单调递增，则当
时，
命题得证．
（2）先对整理后的
进行一阶导数的分析，画出函数大致图象，可知
，
然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明．
证明：
由题意，可知
．
令
，
则
，
，
当时，
，
在上单调递增．
当时，
，
在上单调递增．
当时，
．
故命题得证．
由题意，
，．
，．
令
，解得
；
令
，解得
；
令
，解得
．
在
上单调递减，在
上单调递增，
在处取得极小值
．
大致图象如下：
根据图，可知，
．
，
，
根据对数平均不等式，有
，
．
，
．
故得证．
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