题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ x²+ $数学公式$ x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令 $数学公式$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）令c_n= $数学公式$ + $数学公式$ ，证明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+ $数学公式$ ．

解：（1）∵点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴当n=1时， $\text{[math]}$ ；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
当n=1时，也适合上式，
因此 $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）可得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴T_n= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
两式相减得 $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
（3）证明：由c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞2 $\text{[math]}$ =2，
∴c₁+c₂+…+c_n＞2n．
又c_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴c₁+c₂+…+c_n=2n+[（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]=2n+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜2n+ $\text{[math]}$ ．
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+ $\text{[math]}$ 成立．
分析：（1）利用 $\text{[math]}$ 即可求出a_n；
（2）利用“错位相减法”即可得出；
（3）利用基本不等式的性质和“裂项求和”即可得出．
点评：熟练掌握公式 $\text{[math]}$ 、“错位相减法”、基本不等式的性质和“裂项求和”是解题的关键．