题目内容
舰A在舰B的正东6 km处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4 km处，它们围捕海洋动物.某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号.A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是
km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求舰A发射炮弹的极坐标.
思路分析：先建立直角坐标系,分析出点P在双曲线上,又在线段的垂直平分线上,求出交点P的坐标,然后求出P、A两点之间的距离和PA与x轴正向所成的角,即可确定点P的极坐标.
解：对舰B而言,A、C两舰位置如图所示.为方便起见,取B所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,则A、B、C三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,
).由于B、C同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.于是P在BC的中垂线l上,此直线的倾斜角为30°,则其斜率为tan30°=
,设此直线为y=
x+b,将B,C的中点(-4,
)代入上式,得b=
,则求得其方程为
x-3y+
=0.
又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4.∴a=2.又A、B的坐标分别为(3,0)、(-3,0),可知c=3.∴
.于是知P应在双曲线
=1的右支上.由
得直线l与双曲线的交点P(8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线PA的倾斜角为60°.于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|=
=10.
所以,以舰A所在地为极点,舰A发射炮弹的极坐标为(10,
).
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km/s，其中g为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A所在地为极点建立极坐标系，求舰A发射炮弹的极坐标.
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