Question

已知A（1，0），B（0，1），C（2，m）．
（1）若m=1，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（2）若∠ABC=60°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）当m=1时，我们可以计算出线段AB，BC，AC的值，分析三角形ABC三边之间的关系，即可得到结论；
（2）由已知，我们分别求出向量

BA

，

BC

的坐标，由∠ABC=60°，我们可以构造关于m的方程，解方程即可求出满足条件．

解答：证明：（1）当m=1时，C（2，1）
∵|AB|=

2

，|BC|=2，|AC|=

2

即△ABC是等腰三角形
∴AB²+AC²=BC²
即△ABC是直角三角形
故△ABC是等腰直角三角形；
解：（2）∵

BA

=（1，-1），

BC

=（2，m-1），∠ABC=60°，
∴

BA

•

BC

=3-m＞0，即m＜3
又|

BA

|=

2

，|

BC

|=

m2-2m+5

∵∠ABC=60°，
∴

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|•cos60°
∴3-m=

1

2

2(m2-2m+5)

整理得m²-10m+13=0
解得m=5+2

3

（舍去），或m=5-2

3

故m=5-2

3

点评：本题考查的知识点是三角形的形状判断，向量在几何中的应用，其中解答本题的关键是构造关于m的方程．其中（2）中易忽略∠ABC=60°，

BA

•

BC

＞0得到m＜3，而错解为m=5+2

3

，或m=5-2

3

．