Question

如图,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱长都为2,D为CC₁的中点.

(1)求二面角A₁-BD-C₁的大小;

(2)若点P在BB₁上,且BP=3PB₁,求点P到面A₁BD的距离.

Answer 1

解:(1)∵面A₁B₁C₁⊥面BB₁C₁C,取B₁C₁中点E,则A₁E⊥面BB₁C₁C,作EF⊥BD,则A₁F⊥BD,

∴∠A₁FE为二面角A₁-BD-C₁的平面角.∵A₁E=·2=,A₁D=BD=,A₁B=2,

∴·A₁F=2·,A₁F=,EF=.∴tan∠A₁FE=.

(2)在底面正方形BB₁C₁C中,∵D,E分别是CC₁,B₁C₁的中点,BP=3PB₁,

∴PE∥BD.∴PE∥面A₁BD.∴P和E到面A₁BD的距离相等.

∵面A₁EF⊥面A₁BD,作EH⊥A₁F,则EH⊥面A₁EF,

在△A₁EF中,EH=.∴点P到面A₁BD的距离为.