题目内容

如图，椭圆E： $数学公式$ 的右焦点F₂与抛物线y²=8x的焦点重合，过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求 $数学公式$ 的最大值．

解：（Ⅰ）由条件可知椭圆的焦点坐标为（2，0），|CD|=8， $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 可得：2a²=3b⁴，又a²=b²+4，则3b⁴-2b²-8=0，解得：b²=2，a²=4，
所以椭圆M的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）方法1：设圆N：x²+（y-2）²=1的圆心为N，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
从而求 $\text{[math]}$ 的最大值转化为求 $\text{[math]}$ 的最大值．
因为P是椭圆M上的任意一点，设P（x₀，y₀），所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
因为点N（0，2），所以 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ，所以当y₀=-1时， $\text{[math]}$ 取得最大值12．
所以 $\text{[math]}$ 的最大值为11．
方法2：设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x₀，y₀），因为E，F的中点坐标为（0，2），所以 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ =（x₁-x₀）（-x₁-x₀）+（y₁-y₀）（4-y₁-y₀）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（6分）
因为点E在圆N上，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
因为点P在椭圆M上，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ，所以当y₀=-1时， $\text{[math]}$ ．

方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，
由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x₀，y₀），所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
因为 $\text{[math]}$ ，所以当y₀=-1时， $\text{[math]}$ 取得最大值11．
②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，
由 $\text{[math]}$ ，解得y=1或y=3．
不妨设，E（0，3），F（0，1）．因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x₀，y₀），
所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ ，所以当y₀=-1时， $\text{[math]}$ 取得最大值11．
综上可知， $\text{[math]}$ 的最大值为11．

分析：（Ⅰ）由条件可知椭圆的焦点坐标为（2，0），|CD|=8， $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ 可得：2a²=3b⁴，结合a²=b²+4，即可求得椭圆M的方程；
（2）方法1：设圆N：x²+（y-2）²=1的圆心为N，利用向量的运算，表示出 $\text{[math]}$ ，从而求 $\text{[math]}$ 的最大值转化为求 $\text{[math]}$ 的最大值，用坐标表示出 $\text{[math]}$ ，即可求得 $\text{[math]}$ 的最大值；
方法2：设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x₀，y₀），用坐标表示出 $\text{[math]}$ ，利用配方法，即可求得结论；
方法3：分类讨论：直线EF的斜率存在与不垂直，EF的方程与圆的方程联立，用坐标表示出 $\text{[math]}$ ，利用配方法，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，正确表示 $\text{[math]}$ 是关键．