题目内容

（2013•福建）椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=
3
(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于
3
-1
3
-1
．
分析：由直线y=
3
(x+c)可知斜率为
3
，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得∠MF2F1=30°，进而∠F1MF2=90°．
设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得
m2+n2=(2c)2
m+n=2a
m=
3
n
，解出a，c即可．
解答：解：如图所示，
由直线y=
3
(x+c)可知倾斜角α与斜率
3
有关系
3
=tanα，∴α=60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．
设|MF2|=m，|MF1|=n，则
m2+n2=(2c)2
m+n=2a
m=
3
n
，解得
c
a
=
3
-1．
∴该椭圆的离心率e=
3
-1．
故答案为
3
-1．
点评：本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法．
练习册系列答案
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（2013•福建）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…=
1
1-x

两边同时积分得：
∫
1
2
0
1dx+
∫
1
2
0
xdx+
∫
1
2
0
x2dx+…
∫
1
2
0
xndx+…=
∫
1
2
0
1
1-x
dx
从而得到如下等式：1×
1
2
+
1
2
×(
1
2
)2+
1
3
×(
1
2
)3+…+
1
n+1
×(
1
2
)n+1+…=ln2．
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C
0
n
×
1
2
+
1
2
C
1
n
×(
1
2
)2+
1
3
C
2
n
×(
1
2
)3+…+
1
n+1
C
n
n
×(
1
2
)n+1=
1
n+1
[(
3
2
)n+1-1]
1
n+1
[(
3
2
)n+1-1]
．
（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（
π
4
，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个
π
2
单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（
π
6
，
π
4
），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

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