Question

（2013•福建）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…=

1

1-x

两边同时积分得：

∫

1 2 0

1dx+

∫

1 2 0

xdx+

∫

1 2 0

x2dx+…

∫

1 2 0

xndx+…=

∫

1 2 0

1

1-x

dx
从而得到如下等式：1×

1

2

+

1

2

×(

1

2

)2+

1

3

×(

1

2

)3+…+

1

n+1

×(

1

2

)n+1+…=ln2．
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

C

0 n

×

1

2

+

1

2

C

1 n

×(

1

2

)2+

1

3

C

2 n

×(

1

2

)3+…+

1

n+1

C

n n

×(

1

2

)n+1=

1

n+1

[(

3

2

)n+1-1]

．

Answer 1

分析：根据二项式定理得C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．

解答：解：二项式定理得C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，
对C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ
两边同时积分得：

∫

1 2 0

1

C

0 n

dx+

∫

1 2 0

C

1 n

xdx+

∫

1 2 0

C

2 n

x2dx+…+

∫

1 2 0

C

n n

xndx=

∫

1 2 0

(1+x)ndx
从而得到如下等式：

C

0 n

×

1

2

+

1

2

C

1 n

×(

1

2

)2+

1

3

C

2 n

×(

1

2

)3+…+

1

n+1

C

n n

×(

1

2

)n+1=

1

n+1

[(

3

2

)n+1-1]
故答案为：

1

n+1

[(

3

2

)n+1-1]．

点评：本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了．