题目内容
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=| k | 3x+5 |
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
分析：（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到C(x)=
．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．
（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
| k |
| 3x+5 |
| 40 |
| 3x+5 |
（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
解答：解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=
．
再由C（0）=8，得k=40，
因此C(x)=
．
而建造费用为C1（x）=6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×
+6x=
+6x(0≤x≤10)
（Ⅱ）f′(x)=6-
，令f'（x）=0，即
=6．
解得x=5，x=-
（舍去）．
当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+
=70．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
| k |
| 3x+5 |
再由C（0）=8，得k=40，
因此C(x)=
| 40 |
| 3x+5 |
而建造费用为C1（x）=6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×
| 40 |
| 3x+5 |
| 800 |
| 3x+5 |
（Ⅱ）f′(x)=6-
| 2400 |
| (3x+5)2 |
| 2400 |
| (3x+5)2 |
解得x=5，x=-
| 25 |
| 3 |
当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+
| 800 |
| 15+5 |
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．
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