题目内容
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层．每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：厘米）满足关系：C（x）=| k | 3x+5 |
（1）求k的值及f（x）的表达式，并写f（x）=的定义域；
（2）隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f（x）=最小？并求出最小总费用．
分析：（1）由每年的能源消耗费用为C（x），当x=0时，可得k的值；又加装隔热层的费用为C1（x），所以总费用函数f（x）可表示出来，其定义域可得；
（2）对函数f（x）变形，利用基本不等式求得最值，即得所求．
（2）对函数f（x）变形，利用基本不等式求得最值，即得所求．
解答：解：（1）由已知，当x=0时，C（x）=8，即
=8，所以k=40，
所以C（x）=
，
又加装隔热层的费用为：C1（x）=6x，
所以f（x）=20•C（x）+C1（x）=20×
+6x=6x+
，
且f（x）定义域为[0，10]．
（2）f（x）=6x+
=6x+
=6(x+
)+
-10≥2
-10=70，
当且仅当6(x+
)=
，即(x+
)2=
，即x+
=
，即x=5时取等号．
所以，当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f（x）最小，最小总费用为70万元．
| k |
| 5 |
所以C（x）=
| 40 |
| 3x+5 |
又加装隔热层的费用为：C1（x）=6x，
所以f（x）=20•C（x）+C1（x）=20×
| 40 |
| 3x+5 |
| 800 |
| 3x+5 |
且f（x）定义域为[0，10]．
（2）f（x）=6x+
| 800 |
| 3x+5 |
| 800 | ||
3(x+
|
| 5 |
| 3 |
| 800 | ||
3(x+
|
|
当且仅当6(x+
| 5 |
| 3 |
| 800 | ||
3(x+
|
| 5 |
| 3 |
| 800 |
| 18 |
| 5 |
| 3 |
| 20 |
| 3 |
所以，当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f（x）最小，最小总费用为70万元．
点评：本题考查了平均值不等式在函数极值中的应用，在利用平均值不等式求最值时，要注意等号成立的条件是什么．
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