Question

等差数列{a_n}中，a₁=a₃+a₇-2a₄=4，则

anan+1+12

n2+3n

取整数解时n的个数有（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

分析：由已知可知，等差数列的首项为4，利用等差数列的通项公式化简等式a₃+a₇-2a₄=4，得到关于公差d的方程，求出方程的解即可得到d的值，根据首项和公差写出等差数列的通项公式，把通项公式代入

anan+1+12

n2+3n

中化简后，分别令n=1，2，3，..，讨论可得满足题意的n的个数．

解答：解：由已知得到a₁=4且a₃+a₇-2a₄=a₁+2d+a₁+6d-2（a₁+3d）=2d=4，解得d=2，
所以a_n=4+2（n-1）=2n+2，
则

anan+1+12

n2+3n

=

(2n+2)(2n+4) +12

n2+3n

=4+

20

n2+3n

，
当n=1时，

anan+1+12

n2+3n

=4+5=9，符合题意；
当n=2时，

anan+1+12

n2+3n

=4+2=6，符合题意；
当n≥3时，

anan+1+12

n2+3n

显然不为整数．
所以

anan+1+12

n2+3n

取整数解时n的个数有2个．
故选C．

点评：此题考查学生灵活一样等差数列的通项公式化简求值，是一道综合题．